有一个正三角形养鱼塘,三个角上各有一棵大树,现想把池塘扩大,但不许把树挖掉,要把池塘扩大成更大的正三角形池塘,试问：（1）新池塘能够比旧池塘最大大多少?（2）现把池塘的正三角形

Question

有一个正三角形养鱼塘,三个角上各有一棵大树,现想把池塘扩大,但不许把树挖掉,要把池塘扩大成更大的正三角形池塘,试问：
（1）新池塘能够比旧池塘最大大多少?
（2）现把池塘的正三角形改成正方形的养鱼塘,四个角各有一棵大树,想把池塘扩大,使它成为一个面积比原有池塘更大的正方形池塘,应如何挖?
（3）照这样继续想下去,如果池塘本来为正n边形（n≥3）每个角上各有一棵树,不许把树挖掉,把池塘扩大成新的正n边形池塘,那么新池塘的面积最多是旧池塘的多少倍呢?

Answer 1

（1）新池塘能够比旧池塘最大大3倍.新正三角形的各边中点为原来正三角形的三个顶点.
（2）现把池塘的正三角形改成正方形的养鱼塘,四个角各有一棵大树,想把池塘扩大,使它成为一个面积比原有池塘更大的正方形池塘,新正方形的各边中点为原来正方形的各个顶点.可使面积扩大1倍
（3）照这样继续想下去,如果池塘本来为正n边形（n≥3）每个角上各有一棵树,不许把树挖掉,把池塘扩大成新的正n边形池塘,那么新池塘的面积最多是旧池塘的[1/cos(180/n)]^2倍