设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)

Question

设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)

Answer 1

设任y∈f(A∪B),则存在x∈A∪B,使得f(x)=y,
∴x∈A,或x∈B,
∴y∈f(A),或y∈f(B),
∴y∈f(A)∪f(B),
∴f(A∪B)是f(A)∪f(B)的子集；
反过来,任y∈f(A)∪f(B),则y∈f(A),或y∈f(B),
∴存在x∈A,或x∈B,使得f(x)=y,
∴x∈A∪B,
∴y∈f(A∪B),
∴f(A)∪f(B)是f(A∪B)的子集.
∴f(A)∪f(B)=f(A∪B).