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已知A={1,2,3},f:A→A,且满足f[f(x)]=f(x),则满足要求的映射有多少个?
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已知A={1,2,3},f:A→A,且满足f[f(x)]=f(x),则满足要求的映射有多少个?
▼优质解答
答案和解析
如果f是一一映射,那么有f[f(x)]=f(x),得f(x)=x;1个.
下面考虑f不是一一映射：
.x.1...2...3
f1(x)...a...a...a,a∈A,
f2(x)...a...a...b,
f3(x)...a...b...a
f4(x)...b...a...a,a,b∈A,a≠b,
f1[f1(x)]=f1(a)=a=f1(x),3个.
f2[f2(1)]=f2(a)=f2(1)=a,
f2[f2(2)]=f2(a)=f2(2)=a,
f2[f2(3)]=f2(b)=f2(3)=b,
∴.x.1...2...3
f2(x).1...1...3
或...2...2...3：2个,
仿上,f3,f4各两个,
∴满足要求的映射有10个.
下面考虑f不是一一映射：
.x.1...2...3
f1(x)...a...a...a,a∈A,
f2(x)...a...a...b,
f3(x)...a...b...a
f4(x)...b...a...a,a,b∈A,a≠b,
f1[f1(x)]=f1(a)=a=f1(x),3个.
f2[f2(1)]=f2(a)=f2(1)=a,
f2[f2(2)]=f2(a)=f2(2)=a,
f2[f2(3)]=f2(b)=f2(3)=b,
∴.x.1...2...3
f2(x).1...1...3
或...2...2...3：2个,
仿上,f3,f4各两个,
∴满足要求的映射有10个.
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