设数集A满足：若x∈A（x≠1，x≠0），则11-x∈A（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A是否为单元素集合，并说明埋由；（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，

Question

设数集A满足：若x∈A（x≠1，x≠0），则(1)/(1-x)∈A
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为单元素集合，并说明埋由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为(14)/(3)，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．

Answer 1

（1）证明：若x∈A，则(1)/(1-x)∈A．
又∵2∈A，
∴(1)/(1-2)=-1∈A
∵-1∈A，∴(1)/(1-(-1))=(1)/(2)∈A．
∵(1)/(2)∈A，∴(1)/(1-(1)/(2))=2∈A．
∴A中另外两个元素为-1，(1)/(2)；
（2）若A为单元素集，则x=(1)/(1-x)，即x²-x+1=0，方程无解．
∴x≠(1)/(1-x)，
∴A不可能为单元素集；
（3）由x∈A，(1)/(1-x)∈A，
得：(1)/(1-(1)/(1-x))=(x-1)/(x)∈A，
得：(1)/(1-(x-1)/(x))=x∈A，
∴A={x，(1)/(1-x)，(x-1)/(x)}，
而x•(1)/(1-x)•(x-1)/(x)=1，
①若x²=1，解得：x=±1，不合题意，
②若（(1)/(1-x)）²=1，解得：x=0，不合题意，
∴只能((x-1)/(x))2=1，解得：x=(1)/(2)，
∴A={(1)/(2)，2，-1}．