如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C₁CB=60°，BC₁⊥A₁C，E为AC的中点，侧棱CC₁=2．

（1）求证：A₁C⊥平面C₁EB；
（2）求直线CC₁与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BE⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C⊂平面A₁ACC₁，∴BE⊥A₁C．
又BC₁⊥A₁C，BE∩BC₁=B，∴A₁C⊥面C₁EB．
（2） ∵面A₁ACC₁⊥面ABC，∴C₁在面ABC上的射影H在AC上，
∴∠C₁CA为直线C₁C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C₁M，
在Rt△C₁CM中，CM=CC₁cos∠C₁CM=2cos60°=1．
在Rt△CMH中，CH=(CM)/(cos∠ACB)=(2√(3))/(3)．
∴在Rt△C₁CH中，cos∠C1CH=(CH)/(CC1)=((2)/(3)√(3))/(2)=(√(3))/(3)．
∴直线C₁C与面ABC所成的角的余弦值为(√(3))/(3)