如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E

Question

如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y₁=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A______，k=

(4)/(t)（k＞0）

(4)/(t)（k＞0）

；
（2）随着三角板的滑动，当a=(1)/(4)时：
①请你验证：抛物线y₁=ax（x-t）的顶点在函数y=−(1)/(4)x2的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂-y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

Answer 1

（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，
∴点A的坐标是（t，4）．
又∵直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0），
∴4=kt，则k=(4)/(t)（k＞0）．

（2）①当a=(1)/(4)时，y₁=(1)/(4)x（x-t），其顶点坐标为（(t)/(2)，-(t2)/(16)）．
对于y=−(1)/(4)x2来说，当x=(t)/(2)时，y=−(1)/(4)×(t2)/(4)=-(t2)/(16)，即点（(t)/(2)，-(t2)/(16)）在抛物线y=−(1)/(4)x2上．
故当a=(1)/(4)时，抛物线y₁=ax（x-t）的顶点在函数y=−(1)/(4)x2的图象上；

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=(1)/(2)AC=2，CK=(1)/(2)BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y₁=(1)/(4)x（x-t）上，
∴(1)/(4)（t+2）（t+2-t）=2，
解得t=2．

（3）如图2，

y＝(4)/(t)x

y＝ax(x−t)

，则(4)/(t)x=ax（x-t），
解得x=(4)/(at)+t，或x=0（不合题意，舍去）．
故点D的横坐标是(4)/(at)+t．
当x=(4)/(at)+t时，|y₂-y₁|=0，由题意得t+4=(4)/(at)+t，
解得a=(1)/(t)（t＞4）．