已知函数f(x)=x[e^x-e^(-x)]-(2x+1)[e^(2x+1)-e^(-2x-1)],则满足f(x)＞0的实数x的取值范围RT

Question

已知函数f(x)=x[e^x-e^(-x)]-(2x+1)[e^(2x+1)-e^(-2x-1)],则满足f(x)＞0的实数x的取值范围
RT

Answer 1

终于也是遇到了一道我感兴趣的题目了····不容易啊.
（高考这个解字也是一份啊~啧啧）
令g(x)=x[e^x-e^(-x)],则f(x)=g(x)-g(2x+1),所以,如果我能知道g(x)单调性的话,那么问题就能变成比较x和2x+1了.嗯嗯.另外,g(x)是一个偶函数（这个性质也是我后来发现有用的）...
现在研究g(x)的单调性,第一步,定义域!虽然这题的定义域是R,但是做其他题的时候一定要先算定义域!and then,g'(x)=x[e^x+e^(-x)],讨论g'(x)正负性,很明显,在x大于零的时候大于零,x小于零的时候小于零,x等于零的时候等于零.所以g(x)在(负无穷,0)递减,在(0,正无穷)递增.
好吧,接下来,因为偶函数这个性质啊!所以,只需要|x|>|2x+1|,则两边同时平方,移项,平方差展开,x在(-1/3,-1),完毕.
如果没有发现偶函数这个性质,这道题会比较难受,但是还是可以做.已知了两个单调区间,分类讨论,1)x2x+1,3),x0,-x>2x+1(其实还是偶函数这一特性,需要画一个示意图来找),本来还应该有第四种情况,就是2x+10,-(2x+1)>x,喂喂,这前面俩条件已经矛盾了好吗?还能不能一起愉快地玩耍啊.但是在做题的时候还是要写啊,不然得不了满分啊啊啊啊啊~