已知函数f(x)=－3x的平方＋a(6－a)x+c.(1)当c=19时,解关于a的不等式f(1)>0（2）诺关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a、c的值

Question

已知函数f(x)=－3x的平方＋a(6－a)x+c.(1)当c=19时,解关于a的不等式f(1)>0 （ 2）诺关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a、c的值

Answer 1

1.f(x)=－3x^2＋a(6－a)x+c,c = 19
f(1) = -3 + 6a - a^2 +19 = -a^2 + 6a + 16 > 0
a^2 - 6a - 16 = (a + 2)(a - 8) < 0
a + 2 < 0 且 a - 8 > 0,-2 > a 且a > 8,无解
a + 2 > 0 且 a - 8 < 0 ,-2 < a < 8
2.f(x) 为一向下开口的抛物线,f(x) > 0 的解为 x=(-1,3)
所以 f(x) = 0 的解为 x1 = -1,x2 = 3
所以 f(x) 对称于 x = 1
f(x) = k(x-1)^2 + d k 为常数,(1,d) 为顶点
= kx^2 - 2kx + (d+k)
= －3x^2＋a(6－a)x+c
所以 k = -3,a(6-a) = 6,c = d-3
f(x) = -3x^2 + 6x +(d-3)
f(-1) = -3 -6 + (d-3) = 0,所以 d = 12,c = 9
a(6-a) = -a^2 + 6a = 6
-a^2 + 6a -6 = 0
a^2 - 6a + 6 = 0
所以 a = 3 + 根号3,a = 3 - 根号3,c = 9