1.是否存在整数a,b,c,d,使得对所有整数x,整式x^4+2x^2+1992x+30=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)都成立.

Question

1.是否存在整数a,b,c,d,使得对所有整数x,整式x^4+2x^2+1992x+30=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)都成立.

Answer 1

其实就是证明x^4+2x^2+1992x+30=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)是恒等式
把右边展开得,右边=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd
比较系数,a+c=0,（1）
bd=30,（2）
b+d+ac=2,（3）
ad+bc=1992.（4）
由（1）可知a=-c,代入（3）（4）得
b+d-a²=2
a（d-b）=1992
因为a、b、d都是整数,所以
b+d-2一定是完全平方数,所以a＞0,
又因为a（d-b）=1992是正数
所以d＞b
同时满足bd=30,所以有以下解法：
b=1,d=30,b+d-2不为完全平方数
b=2,d=15,b+d-2不为完全平方数
b=3,d=10,b+d-2不为完全平方数
b=5,d=6,b+d-2不为完全平方数
所以不存在整数a、b、c、d,使得对所有整数x,整式x^4+2x^2+1992x+30=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)都成立.