设函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足∂2u∂x∂y≠0及∂2u∂x2+∂2u∂y2＝0．结论：①u（x，y）在D的内部有驻点；②u（x，y）在D的内部有极值；③u（x

Question

设函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足(∂2u)/(∂x∂y)≠0及(∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)＝0．结论：
①u（x，y）在 D的内部有驻点；
②u（x，y）在 D的内部有极值；
③u（x，y）在 D的边界上有最大值；
④u（x，y）在 D的边界上有最小值．
则这4个结论中正确的是（　　）

A．①②
B．②③
C．③④
D．④①

Answer 1

①不一定成立，②是错误的：
如果u（x，y）在D的内部有极值，不妨设在点P₀（x₀，y₀）取得极值，则(∂u)/(∂x)|P0=(∂u)/(∂y)|P0=0，且(∂2u)/(∂x2)|P0•(∂2u)/(∂y2)|P0-（(∂2u)/(∂x∂y)|P0）²＞0．（1）
另一方面，
因为 (∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)=0，
所以 (∂2u)/(∂x2)=-(∂2u)/(∂y2)．
又因为(∂2u)/(∂x∂y)≠0，
从而，(∂2u)/(∂x2)|P0•(∂2u)/(∂y2)|P0-（(∂2u)/(∂x∂y)|P0）²
=-（(∂2u)/(∂y2)|P0）²-（(∂2u)/(∂x∂y)|P0）²＜0，
与（1）矛盾，故u（x，y）在D的内部没有极值，②错误．
①选项难以判断其是否成立：u（x，y）在D的内部可以有驻点，但是驻点不能是极值点．
③正确：
函数u（x，y）在有界闭区域D上连续，故u（x，y）在D上存在最大值．
如果u（x，y）在区域D内某点P₀（x₀，y₀）处取的最大值，则必为极大值点．由②的分析可知，u（x，y）在区域D内没有极值点，故最大值只能在边界上取到．
④正确：类似于③的分析可以证明．
综上，选项③④正确．
故选：C．