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设f(x)为一多项式,若(x+1)f(x)除以x^2+x+1的余式为5x+3.试求f(x)除x^2+x+1的余式r(x)
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设f(x)为一多项式,若(x+1)f(x)除以x^2+x+1的余式为5x+3.试求f(x)除x^2+x+1的余式r(x)
▼优质解答
答案和解析
∵(x+1)f(x)除以x^2+x+1的余式为5x+3
∴(x+1)f(x)-5x-3被x^2+x+1整除
设r(x)=ax+b
∴f(x)-ax-b能被x²+x+1整除
∵（x+1)f(x)-5x-3=(x+1)[f(x)-ax-b]+ax²-(a+b)x+b-5x-3=(x+1)[f(x)-ax-b]+ax²-(a+b+5)x+b-3
∴ax²-(a+b+5)x+b-3能被x²+x+1整除
∴a=b-3=-(a+b+5)
∴a=-8/3 b=1/3
∴r(x)=-8/3·x+1/3
∴(x+1)f(x)-5x-3被x^2+x+1整除
设r(x)=ax+b
∴f(x)-ax-b能被x²+x+1整除
∵（x+1)f(x)-5x-3=(x+1)[f(x)-ax-b]+ax²-(a+b)x+b-5x-3=(x+1)[f(x)-ax-b]+ax²-(a+b+5)x+b-3
∴ax²-(a+b+5)x+b-3能被x²+x+1整除
∴a=b-3=-(a+b+5)
∴a=-8/3 b=1/3
∴r(x)=-8/3·x+1/3
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