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设f（x，y）=x|y|x2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，用方向导数的定义证明：函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．
题目详情
设f（x，y）=
，用方向导数的定义证明：函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．
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▼优质解答
答案和解析
证明：由于
，而函数f（x，y）在原点（0，0）沿任意方向
的方向导数为
|(0，0)＝
=
＝cosθ•|sinθ|
由于式中θ为任意的方向角，这说明函数在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．
|
| l |
| ∂f |
| ∂l |
| lim |
| ρ→0+ |
| f(0+ρcosθ，0+ρsinθ)−f(0，0) |
| ρ |
=
| lim |
| ρ→0+ |
| ρ2cosθ•|sinθ| |
| ρ2 |
由于式中θ为任意的方向角，这说明函数在原点（0，0）沿任意方向的方向导数都存在．
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