如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点C（0，4），矩形OABC的对角线的交点为M，点P（2，3）．（1）直线OB的解析式为；（2）过点P且与直线OB平行的直线的解析式为；（3

Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点C（0，4），矩形OABC的对角线的交点为M，点P（2，3）．

（1）直线OB的解析式为___；
（2）过点P且与直线OB平行的直线的解析式为___；
（3）点M的坐标为___；
（4）点Q在直线AC上，△QMB的面积与△PMB的面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，点A（2，0），点C（0，4），
∴B（2，4）．
设直线OB的解析式为为y=kx，
则2k=4，解得k=2，
∴直线OB的解析式为为y=2x．
故答案为y=2x；

（2）设过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x+b，
将P（2，3）代入，
得4+b=3，解得b=-1，
所以过点P且与直线OB平行的直线的解析式为y=2x-1．
故答案为y=2x-1；

（3）∵矩形OABC的对角线的交点为M，
∴M是线段AC的中点，
∵点A（2，0），点C（0，4），
∴M（1，2）．
故答案为（1，2）；

（4）∵点Q在直线AC上，△QMB的面积与△PMB的面积相等，
∴Q到BM的距离等于P到BM的距离．
①如果Q在BM的下方，那么PQ∥BM，Q为直线AC与直线y=2x-1的交点．
∵点A（2，0），点C（0，4），
∴直线AC的解析式为y=-2x+4．
由

y=2x-1

y=-2x+4

，解得

x=(5)/(4)

y=(3)/(2)

，
∴点Q₁的坐标为（(5)/(4)，(3)/(2)）；
②如果Q在BM的上方，那么Q与（(5)/(4)，(3)/(2)）关于点M对称，
∵M（1，2），
∴点Q₂的坐标为（1×2-(5)/(4)，2×2-(3)/(2)），即（(3)/(4)，(5)/(2)）；
故所求点Q的坐标为（(5)/(4)，(3)/(2)）或（(3)/(4)，(5)/(2)）．