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(2010•乌鲁木齐)如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1)当
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(2010•乌鲁木齐)如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)当点E坐标为(3,0)时,试证明CE=EP;
(2)如果将上述条件“点E坐标为(3,0)”改为“点E坐标为(t,0)(t>0),结论CE=EP是否成立,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形?若存在,用t表示点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)当点E坐标为(3,0)时,试证明CE=EP;
(2)如果将上述条件“点E坐标为(3,0)”改为“点E坐标为(t,0)(t>0),结论CE=EP是否成立,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形?若存在,用t表示点M的坐标;若不存在,说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)(2)方法一:
在OC上截取ON=OE,

则AE=CN,∠EAP=∠CNE=135°
∵CE⊥EP
∴∠CEO+∠PEA=90°
又∵∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠NCE=∠AEP
∴△NCE≌△AEP
∴CE=EP,即不论点E的坐标是多少,都存在CE=EP,(1)(2)得证;
方法二:(1)过点P作PH⊥x轴,垂足为H
∴∠2=∠1=90°
∵EF⊥CE
∴∠3=∠4
∴△COE∽△EHP
∴
=
由题意知:CO=5,OE=3,EH=EA+AH=2+HP
∴
=
即HP=3
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中
∴CE=
=
,EP=
=
故CE=EP
(2)CE=EP仍成立,理由如下:
同理△COE∽△EHP,
∴
=
由题意知:CO=5,OE=t,EH=5-t+HP
∴
=
,整理得(5-t)HP=t(5-t),
∵点E不与点A重合,A(5,0),
∴5-t≠0
∴HP=t,
∴AH=t,
∴EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中
CE=
EP=
在OC上截取ON=OE,

则AE=CN,∠EAP=∠CNE=135°
∵CE⊥EP
∴∠CEO+∠PEA=90°
又∵∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠NCE=∠AEP
∴△NCE≌△AEP
∴CE=EP,即不论点E的坐标是多少,都存在CE=EP,(1)(2)得证;
方法二:(1)过点P作PH⊥x轴,垂足为H
∴∠2=∠1=90°
∵EF⊥CE
∴∠3=∠4
∴△COE∽△EHP
∴
CO |
OE |
EH |
HP |
由题意知:CO=5,OE=3,EH=EA+AH=2+HP
∴
5 |
3 |
2+HP |
HP |
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中
∴CE=
CO2+OE2 |
34 |
EH2+PH2 |
34 |
故CE=EP
(2)CE=EP仍成立,理由如下:
同理△COE∽△EHP,
∴
CO |
OE |
EH |
HP |
由题意知:CO=5,OE=t,EH=5-t+HP
∴
5 |
t |
5−t+HP |
HP |
∵点E不与点A重合,A(5,0),
∴5-t≠0
∴HP=t,
∴AH=t,
∴EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中
CE=
25+t2 |
作业帮用户
2016-11-21
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