设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（Ⅰ）若直线y=3x-1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1-ae（e为自然对数的底数），求实数a的值．

Question

设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若直线y=3x-1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e²]上的最大值为1-ae（e为自然对数的底数），求实数a的值．

Answer 1

（1）由f（x）=lnx-ax，得f′（x）=(1)/(x)-a=3，
∴x=(1)/(a+3)，则f（ (1)/(a+3)）=ln (1)/(a+3)-(a)/(a+3)，
∴ln (1)/(a+3)-(a)/(a+3)=(3)/(a+3)-1，得ln (1)/(a+3)=0，即a=-2；
（2）f′（x）=(1)/(x)-a，
当a≤(1)/(e2)时，f′（x）≥0在[1，e²]上恒成立，故f（x）在[1，e²]上为增函数，
故f（x）的最大值为f（e²）=2-ae²=1-ae，得a=(1)/(e2-e)（舍）；
当 (1)/(e2)<a<1时，若x∈[1，(1)/(a)]，f′（x）>0，x∈[(1)/(a)，e²]，f′（x）<0，
故f（x）在[1，e²]上先增后减，故f（x）max=f（(1)/(a)）=-lna-1
由-lna-1=1-ae，解得a=(1)/(e)；
当a≥1时，故当x∈[1，e²]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e²]上的减函数，
故f（x）_max=f（1）=-a=1-ae，得a=(1)/(e-1)（舍）；
综上，a=(1)/(e-1)．