高等数学题.请高人指点.利用f(x)=-lnx(x>0)是凸函数证明：当xi>0(i=1,2,...,n)时,n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)0)是凸函数,-lnx=ln(1/x)所以f(x)=ln（1/x）(x>0)是凸函数所以[ln(1/x1)+ln(1/x2)+ln(1/x3)+...+ln(1/xn

Question

高等数学题.请高人指点.
利用f(x)=-lnx (x>0)是凸函数证明：
当xi>0 (i=1,2,...,n)时,
n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)0)是凸函数,-lnx=ln(1/x)
所以f(x)=ln（1/x） (x>0)是凸函数
所以[ln(1/x1)+ln(1/x2)+ln(1/x3)+...+ln(1/xn)]/n>=ln[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n]
即ln{n次开方下[1/(x1*x2*...*xn)]}>=ln[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n]
所以
n次开方下[1/(x1*x2*...*xn)]>=(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n
两边取倒数
所以n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)>=n次开方下（x1*x2*...*xn)
正好与结果相反,到底是那里错了?百思不得其解.还请赐教,不胜感激.
补充：由于我用的教材叫法的原因，凹函数（西安交大版）就是凸函数（同济大学版），凸函数就是凹函数.
凸函数就是图像向下凸。

Answer 1

[ln(1/x1)+ln(1/x2)+ln(1/x3)+...+ln(1/xn)]/n>=ln[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n] 错了
你取点1/x1,1/x2,1/x3,..,1/xn,利用凸函数性质应该有：
[ln(x1)+ln(x2)+ln(x3)+...+ln(xn)]/n>=ln{1/[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n]}
即ln[n次开方下(x1*x2*...*xn)]>=ln{1/[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n]}
n次开方下(x1*x2*...*xn)>=1/[(1/x1+1/x2+...+1/xn)/n]=n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)