就一道已知数列｛an｝的前n项的和为Sn,且a1=1,an-1（n-1为下标）=（（n+2)/n）*Sn,求证Sn-1（n-1为下标）=4an（n为下标）

Question

就一道
已知数列｛an｝的前n项的和为Sn,且a1=1 ,an-1（n-1为下标）=（（n+2)/n）*Sn,求证Sn-1（n-1为下标）=4an（n为下标）

Answer 1

a(n+1)=(n+2)Sn/n
所以an=(n+1)S(n-1)/(n-1)
所以Sn=n*a(n+1)/(n+2)
S(n-1)=(n-1)an/(n+1)
相减
Sn-S(n-1)=an
an=n*a(n+1)/(n+2)-(n-1)an/(n+1)
2n*an/(n+1)=n*a(n+1)/(n+2)
a(n+1)/an=2(n+2)/(n+1)
所以an/a(n-1)=2(n+1)/n
a(n-1)/a(n-2)=2n/(n-1)
……
a3/a2=2*4/3
a2/a1=2*3/2
相乘
中间约分
an/a1=2^(n-1)*(n+1)/2,a1=1
an=(n+1)*2^(n-2)
所以a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)
Sn/n=a(n+1)/(n+2)=2^(n-1)
所以Sn/n是等比数列
Sn=n*2^(n-1)
所以S(n+1)=(n+1)*2^n
an=(n+1)*2^(n-2)
相除
S(n+1)/an=2^n/2^(n-2)=2^(n-n+2)=4
所以S(n+1)=4an