平行四边形ABCD的对角线相交于点O,在平行四边形ABCD的各边上向外作四个正方形,O1、O2、O3、O4分别为这四个正方形的中心,求证四边形O1O2O3O4是正方形（1、2、3、4为下标）

Question

平行四边形ABCD的对角线相交于点O,在平行四边形ABCD的各边上向外作四个正方形,
O1、O2、O3、O4分别为这四个正方形的中心,求证四边形O1O2O3O4是正方形 （1、2、3、4为下标）

Answer 1

考虑△O1BO2和△O3CO2
有O1B=O3C,BO2=CO2
∠O1BO2=∠O1BA+∠ABC+∠CBO2=90°+∠ABC
∠O3CO2=360°-∠O3CD-∠DCB-∠O2CB
=360°-90°-∠DCB=270°-∠DCB=90°+∠ABC
∴∠O1BO2=∠O3CO2
∴△O1BO2≌△O3CO2
∴O1O2=O3O2,∠O1O2B=∠O3O2C
∴∠O1O2O3=∠O3O2C+∠CO2O1
=∠O1O2B+∠CO2O1=∠CO2B=90°
即O1O2⊥O3O2
同理知△O1AO4≌△O3DO4≌△O3CO2≌△O1BO2
∴有O1O4=O3O4,且O1O4⊥O3O4
O4O3=O2O3,且O4O3⊥O2O3
O4O1=O2O1,且O4O1⊥O2O1
即O1O2O3O4是正方形