大学几何解析:如果a+b+c=0,那么a*b=b*c=c*a,并说明它的几何意义

Question

大学几何解析:如果a+b+c=0,那么a*b=b*c=c*a,并说明它的几何意义

Answer 1

首先,你说的应该是向量吧,而且*应该是×,向量a+b+c=0,说明若以原点为起点,则三向量abc共面,且原点为三向量终点构成的三角形的重心（a+b=-c,向量c在中线上,同理……）.
再说乘法,向量a×b=i|a||b|sinα,其中α为向量a、b夹角,向量i垂直于向量ab所在平面（右手系）单位向量.
在已知条件下,|a||b|sinα为向量a、b在大三角形上切割出的小三角形面积,由于原点为重心,故三向量分割出的三角形面积相等,即|a×b|=|b×c|=|c×a|,（通过几何关系可在原大三角形上做辅助线进一步证明,若向量abc首尾相连,构成的三角形面积即为|a×b|（或|b×c|或|c×a|）
向量a×b、b×c、c×a按照右手系判定可知为同向,且已证明大小相等
故a×b为垂直于三向量,大小等同于
三向量起点相同,终点构成三角形面积的1/3
或三向量首尾相连三角形面积