如何严格证明概率学中的容斥原理?例如在一个全集M中有三个样本集合A,B,C,请举例证明P[A并B]=P[A]+P[B]-P[A交B],如果能推广到三个就更好啦.希望不要用文氏图那种不严谨的办法,

Question

如何严格证明概率学中的容斥原理?
例如在一个全集M中有三个样本集合A,B,C,请举例证明P[A并B]=P[A]+P[B]-P[A交B],如果能推广到三个就更好啦.希望不要用文氏图那种不严谨的办法,

Answer 1

为了易于表达,"并"写作"+","交"不写.即:
已知:P[A+B]=P[A]+P[B]-P[AB].欲证:P[A+B+C]=P[A]+P[B]+P[C]-P[AB]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
证明:P[A+B+C] = P[(A+B)+C]=P[(A+B)]+P[C]-P[(A+B)C]
= P[A+B]+P[C]-P[AC+BC]
= P[A]+P[B]-P[AB]+P[C]-{P[AC]+P[BC]-P[ABC]}
= P[A]+P[B]-P[AB]+P[C]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
= P[A]+P[B]+P[C]-P[AB]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
证毕!