1、3、6、10、15、21.怎样用含有n的代数式来表示

Question

1、3、6、10、15、21.怎样用含有n的代数式来表示

Answer 1

设a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a6=21,
再设b1=a2-a1=3-1=2
b2=a3-a2=6-3=3
b3=a4-a3=10-6=4
b4=a5-a4=15-10=5
b5=a6-a5=21-15=6
………………….
bn=a(n+1)-an
由此可见,数列{bn}是一个首项b1=2,公差d=1的等差数列.
∴bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)=n+1
其前n项和Sn=nb1+n(n-1)d/2=2n+n(n-1)/2=(n^2+3n)/2……..(1)
从另一角度看,Sn=b1+b2+b3+…….+bn
=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…….+[a(n+1)-an]
=a(n+1)-a1=a(n+1)-1……………………………………………(2)
由（1）（2）可见：
a(n+1)-1=(n^2+3n)/2
即a(n+1)=1+(n^2+3n)/2=(n^2+3n+2)/2
=[(n+1)^2+(n+1)]/2
将上式中的（n+1）换成n,即得数列{an}的通项公式为：
an=(n^2+n)/2