向量组的秩与行数和列数的关系所对应向量的线性相关性是怎样的?”矩阵的秩小于行数的时候,其对应的行向量组是线性相关,矩阵的秩小于列数的时候其对应的列向量组是线性相关的”这句

Question

向量组的秩与行数和列数的关系所对应向量的线性相关性是怎样的?
”矩阵的秩小于行数的时候,其对应的行向量组是线性相关,矩阵的秩小于列数的时候其对应的列向量组是线性相关的”这句话对吗?对于矩阵A乘以矩阵B等于零矩阵,可以看成Ax等于零,其中A按列分,那么可否看成是xB等于O,其中B按行分,如果可以的话判断解的方法是否也一样呢?谢谢啦

Answer 1

"矩阵的秩小于行数的时候,其对应的行向量组是线性相关,矩阵的秩小于列数的时候其对应的列向量组是线性相关的”
对的
"对于矩阵A乘以矩阵B等于零矩阵,可以看成Ax等于零,其中A按列分,那么可否看成是xB等于O,其中B按行分,如果可以的话判断解的方法是否也一样呢?"
我们熟习的是齐次线性方程组Ax=0 的情况
所以 当 AB=0 时, B按列分块得 ABi = 0, 知 B 的列都是 Ax=0 的解
A按列分时, 若 B≠0, 则说明 A 的列向量线性相关 或 AX=0 有非零解
反之, B按行分, 若 A≠0, 则说明 B 的行向量组线性相关
你可以把 AB=0 看作 B^TA^T=0 按熟习的方式看