如图，已知抛物线y=-x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3

Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．

（1）求点D的坐标；
（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵已知抛物线y=-x²+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0，3），
∵OB=OC，
∴点B的坐标为：（3，0），
∴-9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图1，作DH⊥y轴于H，
则CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC=(BC)/(DC)=(3√(2))/(√(2))=3；
（3）-x²+2x+3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为：（-1，0），
∴(OA)/(OC)=(1)/(3)，又(DC)/(BC)=(1)/(3)，
∴(OA)/(OC)=(DC)/(BC)，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
设直线CA的解析式为：y=kx+b，
则

-k+b=0

b=3

，
解得，

k=-3

b=3

，
则直线CA的解析式为：y=3x+3，
设点M的坐标为（x，3x+3），
则（x-3）²+（3x+3）²=18，
解得，x₁=0（舍去），x₂=-(6)/(5)，
x₂=-(6)/(5)时，y=-(3)/(5)，
∴点M的坐标为（-(6)/(5)，-

作业帮用户 2017-11-13

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