方格中有一点P和△ABC，第一步：作点P关于点A的对称点P1；第二步：作点P1关于点B的对称点P2；第三步：作点P2关于点C的对称点P3；第四步：作点P3关于点A的对称点P4…；如此一直对称下去．

Question

方格中有一点P和△ABC，第一步：作点P关于点A的对称点P₁；第二步：作点P₁关于点B的对称点P₂；第三步：作点P₂关于点C的对称点P₃；第四步：作点P₃关于点A的对称点P₄…；如此一直对称下去．问：第2009次对称后，求点这P₂₀₀₉与P之间的距离=______．（每一方格的边长为1）．

Answer 1

如图；
易知P（-3，-1），A（-1，-1），B（2，0），C（0，2）；
根据题意，
可知：点P₁（1，-1），P₂（3，1），P₃（-3，3）；
P₄（1，-5），P₅（3，5），P₆（-3，-1）；
此时可发现，P₆与P重合，因此每6个P点的坐标为1个循环，由此可得点P₂₀₀₉是第334个循环的第5个点，即P₂₀₀₉与P₅的坐标相同，此时：
PP₂₀₀₉=√((−3−3)2+(−1−5)2)=6√(2)．
故答案为：6√(2)