F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若|AF||BF|=12

Question

F是双曲线 (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1(a>0，b>0)的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若 (|AF|)/(|BF|)= (1)/(2)，则双曲线的离心率为___．

Answer 1

当b>a>0时，由(|AF|)/(|BF|)=(1)/(2)，可知A为BF的中点，由条件可得(|OA|)/(|OB|)=(1)/(2)，
则Rt△OAB中，∠AOB=(π)/(3)，
渐近线OB的斜率k=√(3)，
即离心率e=(c)/(a)=√(1+3)=2．
同理当a>b>0时，可得e=(2)/(3)√(3)；
故答案为：(2)/(3)√(3)或2．