如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则AEAD=12，1，5−1212，1，5−12．

Question

如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则(AE)/(AD)=

(1)/(2)，1，(√(5)−1)/(2)

(1)/(2)，1，(√(5)−1)/(2)

．

Answer 1

①当FC=FD，点E与点D重合时，即四边形为正方形，则(AE)/(AD)=1；

②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，

∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴(AE)/(AD)=(AE)/(BC)=(AF)/(FC)=(1)/(2)；
③当FC=DC，∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴(AB)/(BC)=(BF)/(FC)，(CD)/(AD)=(AE)/(CD)，
则CD²=AD•AE，
∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE²=BE²-AB²=AD²-CD²，
∴AE=√(AD2−CD2)=√(AD2−AD•AE)，
∴AE²=AD²-AD•AE，
AD²-AD•AE-AE²=0，
解得AD=(1+√(5))/(2)AE，AD=(1−√(5))/(2)AE（不合题意舍去），
∴(AE)/(AD)=

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

根据△CDF为等腰三角形，可以分三种情况进行讨论：①FC=FD，②DF=DC，③CF=CD；
①当点E与点D重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，利用已知条件求证△ABF≌△CDM，然后即可得出

(AE)/(AD)；
③根据△ABF∽△BCF，利用其对应边成比例得CD²=AD•AE，再利用（AAS）求证△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得关于AD的方程即可．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．

考点点评：

此题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，此题要采用分类讨论的思想，是一道难题．

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