已知点F（0，1），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足PM•PF＝0，PN+PM＝0．（1）求动点N的轨迹C方程；（2）由直线y=-1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．

Question

已知点F（0，1），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足

PM

•

PF

＝0，

PN

+

PM

＝0．
（1）求动点N的轨迹C方程；
（2）由直线y=-1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．

Answer 1

（1）设N（x，y）．
因

PN

+

PM

＝0，
故P的坐标为（(x)/(2)，0），M（0，-y），
于是，

PM

＝(−(x)/(2)，−y)，

PF

＝(−(x)/(2)，1)．
因

PM

•

PF

＝0，
即得曲线C的方程为x²=4y
（2）设Q（m，-1）．
由题意，两条切线的斜率k均存在，
故可设两切线方程为y=k（x-m）-1．
将上述方程代入x²=4y，
得x²-4kx+4km+4=0．
依题意，△=（-4k）²-4（4km+4）=0，
即k²-mk-1=0．
上述方程的两根即为两切线的斜率，
由根与系数的关系，其积为-1，即它们所在直线互相垂直
∴AQ⊥BQ