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设二阶线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)有三个特解y1=x,y2=ex,y3=e2x.(Ⅰ)试求此方程满足条件y(0)=1,y′(0)=3的特解;(Ⅱ)求函数y=y(x)的极值.
题目详情
设二阶线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)有三个特解y1=x,y2=ex,y3=e2x.
(Ⅰ)试求此方程满足条件y(0)=1,y′(0)=3的特解;
(Ⅱ)求函数y=y(x)的极值.
(Ⅰ)试求此方程满足条件y(0)=1,y′(0)=3的特解;
(Ⅱ)求函数y=y(x)的极值.
▼优质解答
答案和解析
(1)利用微分方程解的性质可得,ex-x与e2x-x均为齐次方程的解,
故利用线性微分方程解的结构定理可得,可设方程的通解为:
y=y(x)=C1(ex-x)+C2(e2x-x)+x.
由y(0)=C1+C2=1,
y′(0)=C2+1=3,
可得:C1=-1,C2=2.
故满足y(0)=1,y′(0)=3的特解为:
y=y(x)=-(ex-x)+2(e2x-x)+x=2e2x-ex.
(2)因为y=y(x)=2e2x-ex,
令y′(x)=4e2x-ex=ex(4ex-1)=0可得f(x)的唯一驻点为:
x=ln
=-2ln2.
又因为y″(x)=8e2x-ex=ex(8ex-1),
y″(-2ln2)=
(8×
−1)=
>0,
所以x=-2ln2为y(x)的极小值点.
故利用线性微分方程解的结构定理可得,可设方程的通解为:
y=y(x)=C1(ex-x)+C2(e2x-x)+x.
由y(0)=C1+C2=1,
y′(0)=C2+1=3,
可得:C1=-1,C2=2.
故满足y(0)=1,y′(0)=3的特解为:
y=y(x)=-(ex-x)+2(e2x-x)+x=2e2x-ex.
(2)因为y=y(x)=2e2x-ex,
令y′(x)=4e2x-ex=ex(4ex-1)=0可得f(x)的唯一驻点为:
x=ln
1 |
4 |
又因为y″(x)=8e2x-ex=ex(8ex-1),
y″(-2ln2)=
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
所以x=-2ln2为y(x)的极小值点.
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