如图，抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6），且与直线y=12x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动

Question

如图，抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线y=(1)/(2)x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C（4，0），且点B在直线y=(1)/(2)x+1上，
∴点B的坐标为：（4，3），
∵抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6）和点B（4，3），
∴

4a+2b+1=6

16a+4b+1=3

，
解得：

a=-2

b=(9)/(2)

，
故抛物线的解析式为：y=-x²+(9)/(2)x+1；

（2）如图所示：设动点P的坐标为；（x，-x²+(9)/(2)x+1），
则点E的坐标为：（x，(1)/(2)x+1），
∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，
∴PE=PD-ED=（-x²+(9)/(2)x+1）-（(1)/(2)x+1）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
则当x=2时，PE的最大值为：4；

（3）∵PC与BE互相平分，
∴PE=BC，
∴-x²+4x=3，即x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵点Q分别时PC，BE的中点，且点Q在直线y=(1)/(2)x+1，
∴①当x=1时，点Q的横坐标为：(5)/(2)，∴点Q的坐标为：（(5)/(2)，(9)/(4)），
②当x=3时，点Q的横坐标为：(7)/(2)，∴点Q的坐标为：（(7)/(2)，(11)/(4)），
综上所述，点Q的坐标为：（(5)/(2)，(9)/(4)），（(7)/(2)，(11)/(4)）．