已知Rt△ABC在平面直角坐标系中如图所示，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．（1）求线段OA的长及点

Question

已知Rt△ABC在平面直角坐标系中如图所示，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．

（1）求线段OA的长及点D的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

（1） 由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
可得AC=BC=m，OA=m-3，
∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA=m-3，
则点D的坐标是（0，m-3）；

（2） ∵抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m

a(0-1)2=m-3

解得：

a=1

m=4

故抛物线的解析式为y=x²-2x+1；

（3）证明：如图所示：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴(QM)/(EC)=(PM)/(PC)
即((x-1)2)/(EC)=(x-1)/(2)，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴(QN)/(FC)=(BN)/(BC)
即(3-x)/(FC)=(4-(x-1)2)/(4)，得FC=(4)/(x+1)
又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=(4)/(x+1)[4+2（x-1）]=(4)/(x+1)（2x+2）=(4)/(x+1)×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．