如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下

Question

如图，已知抛物线的方程C ₁ ：y=﹣ （x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C ₁ 过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标;
（4）在第四象限内，抛物线C ₁ 上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=﹣ （2+2）（2﹣m），
解得m=4．
（2）令y=0，即 （x+2）（x﹣4）=0，
解得x ₁ =﹣2，x ₂ =4，
∴B（﹣2，0），C（4，0）
在C ₁ 中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S _△BCE = BC·OE=6．
（3）当m=4时，
易得对称轴为x=1，
又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，
此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，
将E（0，2）、C（4，0）代入得：y= x+2，
当x=1时，y= ，
∴H（1， ）．
（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则 ，
∴BC ² =BE·BF．
由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点F，
则BT=TF．
∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），
又点F在抛物线上，
∴﹣x﹣2=﹣ （x+2）（x﹣m），
∴x+2＞0（∵x＞0），
∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．
此时BF= = （m+1），BE= ，BC=m+2，
又BC ² =BE·BF，
∴（m+2） ² = · （m+1），
∴m=2± ，
∵m＞0，
∴m= +2．
②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则 ，
∴BC ² =ECBF．
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， = = ，
∴可令F（x，- （x+2））（x＞0）
又点F在抛物线上，
∴- （x+2）=﹣ （x+2）（x﹣m），
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，
∴F（m+2，- （m+2）），EC= ，BC=m+2，
又BC ² =ECBF，
∴（m+2） ² =
整理得：m=16，显然不成立．
综合①②得，
在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，
m= +2．