求极限问题.求极限：Lim(((1+x)^(1/x))/e)^(1^x)x->0为什么在求极限的时候不能利用重要极限(1+x)^(1/x)=e,然后极限就等于1了呢?本题答案为e^(1/2).

Question

求极限问题.
求极限：Lim(((1+x)^(1/x))/e)^(1^x)
x->0
为什么在求极限的时候不能利用重要极限(1+x)^(1/x)=e,然后极限就等于1了呢?
本题答案为e^(1/2).

Answer 1

使用重要极限要看情况,需要注意重要极限同等价无穷小通常只在乘法与除法中做代换,而本题中最外层还有个(1^x)次幂（这里是不是打错了?应该是(1/x)次幂才有做的价值）,并不能直接套用替换
求极限不能任意地对某一部分单独求极限,比如(1+x)^(1/x)趋近于0的极限,你不能说“(1+x)的极限是1,再求任意次幂还是1,所以最后结果是1”对吧,求极限的函数是一个整体,应该是所有的变量x同时趋近于x0时所得到的才是正确的结果,只有部分极限可以先求单独部分的极限再求整体
对于本题,先对函数取对数,于是极限变为e^Lim{ln[((1+x)^(1/x))/e)]/x},再进一步变形化简得到e^Lim{[ln(1+x)-x]/x^2},对ln(1+x)进行泰勒展开=x+1/2*x^2+o(x^2),其中o(x^2)是x^2的高阶无穷小
于是得到e^Lim{[1/2*x^2+o(x^2)]/x^2}=e^(1/2)
如果文字表述不好看明白,可以私信联系我,我可以把解题步骤用图片传给你看