（2012•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设经过点C的直

Question

（2012•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；
（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²+PB²+PC²=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．

Answer 1

（1）将M（2，-1）、B（3，0）代入抛物线的解析式中，得：

4a+2b+3＝−1

9a+3b+3＝0

，
解得

a＝1

b＝−4

．
故抛物线的解析式：y=x²-4x+3．

（2）由抛物线的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；
则△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．
过B作BE⊥x轴，交直线CD于E（如右图），则∠EBC=∠ABC=45°；
由于直线CD和直线CA关于直线CB对称，所以点A、E关于直线BC对称，则BE=AB=2；
则E（3，2）．
由于直线CD经过点C（0，3），可设该直线的解析式为 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：
3k+3=2，k=-(1)/(3)
故直线CD的解析式：y=-(1)/(3)x+3．

（3）设P（2，m），已知M（2，-1）、B（3，0）、C（0，3），则：
PM²=（2-2）²+（m+1）²=m²+2m+1，PB²=（3-2）²+（0-m）²=m²+1，PC²=（0-2）²+（3-m）²=m²-6m+13；
已知：PM²+PB²+PC²=35，则：m²+2m+1+m²+1+m²-6m+13=35，化简得：3m²-4m-20=0
解之得：m₁=-2，m₂=(10)/(3)；
则P₁（2，-2）、P₂（2，(10)/(3)）
当点P坐标为（2，(10)/(3)）时，由图可知，直线OP与抛物线必有两个交点；
当点P坐标为（2，-2）时，直线OP：y=-x，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故该直线与抛物线没有交点；
综上，直线OP与抛物线有两个交点．