设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-1是an与Sn的等比中项，求数列{an}的通项公式．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n-1是a_n与S_n的等比中项，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

∵S_n-1是a_n与S_n的等比中项，
∴（S_n-1）²=a_n•S_n，
当n=1时，（a₁-1）²=a₁²，解得a₁=(1)/(2)，
当n=2时，（a₂-(1)/(2)）²=a₂（a₂+(1)/(2)），解得a₂=(1)/(6)，
当n=3时，（a₃-(1)/(3)）²=a₃（a₃+(2)/(3)），解得a₃=(1)/(12)．
猜想：a_n=(1)/(n(n+1))，
证明：当n=1时，显然猜想成立，
假设n=k时猜想成立，即a_k=(1)/(k(k+1))．
∴S_k=(1)/(2)+(1)/(6)+(1)/(12)+…+(1)/(k(k+1))=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(k)-(1)/(k+1)=(k)/(k+1)．
当n=k+1时，（S_k+1-1）²=a_k+1S_k+1，即（S_k+a_k+1-1）²=a_k+1（S_k+a_k+1），
∴（a_k+1-(1)/(k+1)）²=a_k+1（(k)/(k+1)+a_k+1），
∴a_k+1²-(2)/(k+1)ak+1+(1)/((k+1)2)=(k)/(k+1)ak+1+a_k+1²．
∴a_k+1=(1)/((k+1)(k+2))．
∴当n=k+1时猜想成立．
∴a_n=(1)/(n(n+1))．