设｛an｝,｛bn｝是公比不相等的两个等比数列,Cn=an十bn,用反证法证明数列｛Cn｝不是等比数列.

Question

设｛an｝,｛bn｝是公比不相等的两个等比数列,Cn=an十bn ,用反证法证明数列｛Cn｝不是等比数列.

Answer 1

an =a1.(q1)^(n-1)
bn =b1.(q2)^(n-1)

反证法
cn = an+bn
a1.(q1)^(n-1) + b1.(q2)^(n-1) = c1.(q3)^(n-1)
n=1
a1+b1=c1 (1)

n=2
a1q1+b1q2 = c1q3
a1q1+b1q2 = (a1+b1)q3 ( from (1) )
q3 = [a1q1+b1q2]/(a1+b1) (2)

n=3
a1(q1)^2+b1(q2)^2 = c1(q3)^2
a1(q1)^2+b1(q2)^2 = (a1+b1). { [a1q1+b1q2]/(a1+b1) }^2 ( from (1) and (2) )
(a1+b1)[a1(q1)^2+b1(q2)^2] =[a1q1+b1q2]^2
a1b1 [(q1)^2+ (q2)^2 ] = 2a1b1q1q2
(q1)^2+ (q2)^2 =2q1q2
(q1-q2)^2=0
q1=q2

ie ｛cn｝不是等比数列