定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列说法中正确

Question

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列说法中正确的序号是______．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的“倍增函数”，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是“倍增函数”，且“倍增系数”λ=1；
③函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”；
④函数f（x）=

e

−x

是“倍增函数”，且“倍增系数”λ∈（0，1）．

Answer 1

∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，
∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，
由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=(2x)/(2x−1)≠1，故②不正确；
∵f（x）=log₂x的定义域不是R，
∴函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”，故③正确；
∵f（x）=e^-x是倍增函数，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴(1)/(exeλ)=(λ)/(ex)，
∴λ=(1)/(eλ)∈（0，1），故④正确．
故答案为：①③④