已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a为实数），g（x）=x-1，h（x）=g(x)，f(x)<g(x)f(x)，f(x)≥g(x)．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调

Question

已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a为实数），g（x）=x-1，h（x）=

g(x)，f(x)<g(x)

f(x)，f(x)≥g(x)

．
（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x-1-lnx，f（1）=0，f′（x）=1-(1)/(x)，∴f′（1）=0，
∴函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=0；
（2）f′（x）=a-(1)/(x)（x>0），
a≤0，f′（x）<0，函数在（0，+∞）上单调递减；
a>0，由f′（x）>0，解得x>(1)/(a)，函数的单调递增区间是（(1)/(a)，+∞），
f′（x）<0，0<x<(1)/(a)，函数的单调递减区间是（0，(1)/(a)）；
（3）令G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，定义域（0，+∞），G（1）=0．
∵h（x）=f（x），∴x>0，G（x）≥0成立；
a≤1，G′（x）=a-1-(1)/(x)<0，G（x）在（0，+∞）单调递减，
∴G（2）<G（1）=0，此时题设不成立；
a>1时，G（x）在（0，(1)/(a-1)）上单调递减，（(1)/(a-1)，+∞）上单调递增，
∴G（x）_min=2-a+ln（a-1），
∴2-a+ln（a-1）≥0恒成立，
令t=a-1，t>0，则1-t+lnt≥0恒成立，
令H（t）=1-t+lnt（t>0），则H（1）=0，H′（t）=(1-t)/(t)，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，
∴H（t）_max=H（1）=0，
∴H（t）≤0（t=1时取等号），
t>0时，1-t+lnt=0的解为t=1，即a=2．