已知函数f(x)=x^2+ax-lnx(a∈R,a为常数）1.过原点坐标O做曲线y=f(x)的切线,求切线方程2.设F（x)=f(x)*e^(-x),若F（x)在区间（0,1]上是单调函数,求a取值范围

Question

已知函数f(x)=x^2+ax-lnx(a∈R,a为常数） 1.过原点坐标O做曲线y=f(x)的切
线,求切线方程
2.设F（x)=f(x)*e^(-x),若F（x)在区间（0,1]上是单调函数,求a取值范围

Answer 1

求导:f'(x)=2x+a-1/x (x＞0)
设切点为(x0,y0)
则k=y0/x0=f'(x0)=2x0-a-1/x0
又∵y0=x0^2+ax0-lnx0
∴x0^2-2ax0+lnx0-1=0
求出x0
a不知道算不出来,但方法是这样
设g(x)=e^(1-x²)f(x),易证明g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
且g(1)=f(1)
又f(1)=3∫ g(x) dx
由积分中值定理,存在ξ∈(0,1/3),使
f(1)=3*(1/3)*g(ξ)=g(ξ)
因此可得：g(ξ)=g(1)
g(x)在 [ξ,1] 内满足罗尔中值定理条件,则
存在c∈(ξ,1),使得：g'(c)=0
g'(x)=-2xe^(1-x²)f(x)+e^(1-x²)f '(x)
因此g'(c)=-2ce^(1-c²)f(c)+e^(1-c²)f '(c)=0
两边消去e^(1-c²)得：-2cf(c)+f '(c)=0,命题得证.