已知函数f（x）=x2-（a-2）x-alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x>0，f（x）+ex>

Question

已知函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，证明：对任意的x>0，f（x）+e^x>x²+x+2．

Answer 1

（Ⅰ）当a=3时，f(x)=x2-x-3lnx，f′(x)=2x-1-(3)/(x)，f'（1）=-2．（1分）
f（1）=0．（2分）
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0．（3分）
（Ⅱ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由已知得f′(x)=2x-(a-2)-(a)/(x)=(2x2-(a-2)x-a)/(x)=((2x-a)(x+1))/(x)．（4分）
当a≤0时，f'（x）>0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．（5分）
当a>0时，由f'（x）>0，得x>(a)/(2)，由f'（x）<0，得0<x<(a)/(2)，
所以函数f（x）的单调递增区间为((a)/(2)，+∞)，单调递减区间为(0，(a)/(2))．（6分）
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为((a)/(2)，+∞)，单调递减区间为(0，(a)/(2))．（7分）
（Ⅲ）证明：当a=1时，不等式f（x）+e^x>x²+x+2可变为e^x-lnx-2>0，（8分）
令h（x）=e^x-lnx-2，则h′(x)=ex-(1)/(x)，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，（9分）
而h′((1)/(3))=e(1)/(3)-3<0，h′(1)=e-1>0，
所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x₀，即ex0=(1)/(x0)．（10分）
当x∈（0，x₀）时，h'（x）<0，函数h（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）>0，函数h（x）单调递增；（11分）
所以h(x)min=h(x0)=ex0-lnx0-2=(1)/(x0)-ln(1)/(ex0)-2=(1)/(x0)+x0-2>0．（12分）
即e^x-lnx-2>0在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x>0，f（x）+e^x>x²+x+2成立．