已知函数f(x)=cos^2*2分之x-sin2分之xcos2分之x-2分之1（1）求函数f(x)的最小正周期和值域（2）若f(α)=10分之3倍根号2,求sin2α的值

Question

已知函数f(x)=cos^2*2分之x-sin2分之xcos2分之x-2分之1
（1）求函数f(x)的最小正周期和值域
（2）若f(α)=10分之3倍根号2,求sin2α的值

Answer 1

1
f(x)=cos^2(x/2)-sin(x/2)cos(x/2)-1/2
=(1+cosx)/2-1/2*sinx-1/2
=1/2*cosx-1/2sinx
=(√2/2)(√2/2cosx-√2/2sinx)
=√2/2cos(x+π/4)
f(x)的最小正周期T=2π
f(x)的值域为[-√2/2,√2/2]
2
∵f(α)=3√2/10
∴1/2(cosα-sinα)=3√2/10
∴cosα-sinα=3√2/5
两边平方
cos²α-2sinαcosα+sin²α=18/25
∴1-sin2α=18/25
∴sin2α=7/25