已知函数f（x）=alnx+x2-（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.（-1，+∞）B.（-2，0）C.（-1，0）D.（-2，-1）

Question

已知函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-1，+∞）

B. （-2，0）

C. （-1，0）

D. （-2，-1）

Answer 1

函数定义域为x>0，且f′（x）=2x-（a+2）+(a)/(x)=((2x-a)(x-1))/(x)．
①当a=0时，f（x）=x²-2x，在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；
②当a<0，即(a)/(2)<0时，令f'（x）<0，得0<x<1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）>0，得x>1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
∴f（x）的极小值也就是f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=1-a-2=-a-1，
∵当x→0时，f（x）→+∞，
∴要使函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则-a-1<0，即a>-1，
∴-1<a<0；
③当0<(a)/(2)<1，即0<a<2时，令f'（x）>0，得0<x<(a)/(2)或x>1，
函数f（x）的单调递增区间为（0，(a)/(2)），（1，+∞）．
令f'（x）<0，得(a)/(2)<x<1，函数f（x）的单调递减区间为（(a)/(2)，1）．
f（x）的极大值为f（(a)/(2)）=aln(a)/(2)+(a2)/(4)-(a2)/(2)-a=aln(a)/(2)+(a2)/(2)-a<0，极小值为f（1）=1-a-2=-a-1<0，
∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；
④当(a)/(2)=1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），不可能有两个零点，不合题意；
⑤当(a)/(2)>1，即a>2时，令f'（x）>0，得0<x<1或x>(a)/(2)，
函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（(a)/(2)，+∞）．
令f'（x）<0，得1<x<(a)/(2)，函数f（x）的单调递减区间为（1，(a)/(2)）．
f（x）的极大值为f（1）=1-a-2=-a-1<0，极小值f（(a)/(2)）=aln(a)/(2)+(a2)/(4)-(a2)/(2)-a=aln(a)/(2)+(a2)/(2)-a<0，
∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意．
综上，函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（-1，0）．
故选：C．