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(2014•泰山区模拟)如图在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上.若BC=8cm,AD=6cm,(1)PN=2PQ,求矩形PQMN的周长(2)当PN为多少时矩形PQMN的面积最大,最大值为多
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(1)PN=2PQ,求矩形PQMN的周长
(2)当PN为多少时矩形PQMN的面积最大,最大值为多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得;PQ:AD=BP:AB,PN:BC=AP:AB
∴
+
=
+
=
=
=1,
又∵PN=2PQ,BC=8cm,AD=6cm,
∴
+
=1,
∴PQ=2.4
则PN=4.8,
∴矩形PQMN的周长=14.4cm;
(2)∵四边形PQMN是矩形,
∴PN∥BC,∠PQM=90°,∠QPN=90°,
∴△PAN∽△ABC,
∵AD是高,
∴∠ADB=90°,
∴四边形PQDE是矩形,∠AEN=90°,
∴
=
,PQ=DE,
设AE=x,矩形PQMN的面积为S,
则
=
,DE=6-x,
∴PN=
x,PQ=6-x,
∴S=-
x2+8x.
∴当x=
=3时,S的最大值为12.,
∴当AE=3时,矩形PQMN的面积最大,最大面积是12.
∴
PQ |
AD |
PN |
BC |
BP |
AB |
AP |
AB |
AP+PB |
AB |
AB |
AB |
又∵PN=2PQ,BC=8cm,AD=6cm,
∴
PQ |
6 |
2PQ |
8 |
∴PQ=2.4
则PN=4.8,
∴矩形PQMN的周长=14.4cm;
(2)∵四边形PQMN是矩形,
∴PN∥BC,∠PQM=90°,∠QPN=90°,
∴△PAN∽△ABC,
∵AD是高,
∴∠ADB=90°,
∴四边形PQDE是矩形,∠AEN=90°,
∴
AE |
AD |
PN |
BC |
设AE=x,矩形PQMN的面积为S,
则
x |
6 |
PN |
8 |
∴PN=
4 |
3 |
∴S=-
4 |
3 |
∴当x=
8 | ||
|
∴当AE=3时,矩形PQMN的面积最大,最大面积是12.
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