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(2014•泰山区模拟)如图在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上.若BC=8cm,AD=6cm,(1)PN=2PQ,求矩形PQMN的周长(2)当PN为多少时矩形PQMN的面积最大,最大值为多

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(2014•泰山区模拟)如图在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上.若BC=8cm,AD=6cm,
(1)PN=2PQ,求矩形PQMN的周长
(2)当PN为多少时矩形PQMN的面积最大,最大值为多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得;PQ:AD=BP:AB,PN:BC=AP:AB
PQ
AD
+
PN
BC
=
BP
AB
+
AP
AB
=
AP+PB
AB
=
AB
AB
=1,
又∵PN=2PQ,BC=8cm,AD=6cm,
PQ
6
+
2PQ
8
=1,
∴PQ=2.4
则PN=4.8,
∴矩形PQMN的周长=14.4cm;
(2)∵四边形PQMN是矩形,
∴PN∥BC,∠PQM=90°,∠QPN=90°,
∴△PAN∽△ABC,
∵AD是高,
∴∠ADB=90°,
∴四边形PQDE是矩形,∠AEN=90°,
AE
AD
=
PN
BC
,PQ=DE,
设AE=x,矩形PQMN的面积为S,
x
6
=
PN
8
,DE=6-x,
∴PN=
4
3
x,PQ=6-x,
∴S=-
4
3
x2+8x.
∴当x=
8
8
3
=3时,S的最大值为12.,
∴当AE=3时,矩形PQMN的面积最大,最大面积是12.
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