（2014•泰山区模拟）如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周长（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多

Question

（2014•泰山区模拟）如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，
（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周长
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？

Answer 1

（1）由题意得；PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB
∴(PQ)/(AD)+(PN)/(BC)=(BP)/(AB)+(AP)/(AB)=(AP+PB)/(AB)=(AB)/(AB)=1，
又∵PN=2PQ，BC=8cm，AD=6cm，
∴(PQ)/(6)+(2PQ)/(8)=1，
∴PQ=2.4
则PN=4.8，
∴矩形PQMN的周长=14.4cm；
（2）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四边形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴(AE)/(AD)=(PN)/(BC)，PQ=DE，
设AE=x，矩形PQMN的面积为S，
则(x)/(6)=(PN)/(8)，DE=6-x，
∴PN=(4)/(3)x，PQ=6-x，
∴S=-(4)/(3)x²+8x．
∴当x=(8)/((8)/(3))=3时，S的最大值为12．，
∴当AE=3时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．