如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME．

Question

如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME．

Answer 1

如图，延长FE，交AB于F'，
∵BE为∠ABC的平分线，且EF⊥BE，
∴BE为FF′的垂直平分线，BF=BF'，EF=EF'
又∵AB=BC，BF=BF'，
∴CF=AF'，
∵M为AF的中点，AM=MF，
在△FME和△FAF'中，∠MFE=∠AFF'，FM：FA=FE：FF'=1：2，
∴△FME∽△FAF'，
∴FM：FA=ME：AF'=1：2，
即AF'=2ME，
又∵CF=AF'，
∴CF=2ME．