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(2012•历下区二模)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
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(2012•历下区二模)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD,连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 .
①△ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③;④,
其中结论正确的是 .
▼优质解答
答案和解析
△AED与△ABC是等腰直角三角形,根据这个条件就可求得:△ACD≌△ACE的条件,就可进行判断.
【解析】
∵∠ABC=90°,AB=BC
∴∠BAC=∠ACB=45°
又∵∠BAD=90°
∴∠BAC=∠DAC
又AD=AE,AC=AC
∴①△ACD≌△ACE;故①正确;
同理∠AED=45°
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°
∴∠DEC=60°
∵ACD≌△ACE
∴CD=CE
∴②△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵△CHE为直三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°,
∴EC≠4EB,
∴=2不成立;
④作EC的中垂线交BC于点F,连接EF,则EF=FC,
∴∠FEC=∠BCE=15°,
∴∠BFE=30°,
设BE=a,
则EF=FC=2a,
在直角△BEF中,BF=a,
∴BC=a+2a=(2+)a,
∴S△BEC=BE•BC=a2;
在直角△BEC中,EC==2,
∵△CDE为等边三角形,
∴S△ECD==(2+)=3+2,EH=,HC=EC=,
又∵△AED是等腰直角三角形,AH是高,
∴AH=EH=,
∴S△EHC=,
∴====.故④正确;
故其中结论正确的是①②④.
【解析】
∵∠ABC=90°,AB=BC
∴∠BAC=∠ACB=45°
又∵∠BAD=90°
∴∠BAC=∠DAC
又AD=AE,AC=AC
∴①△ACD≌△ACE;故①正确;
同理∠AED=45°
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°
∴∠DEC=60°
∵ACD≌△ACE
∴CD=CE
∴②△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵△CHE为直三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°,
∴EC≠4EB,
∴=2不成立;
④作EC的中垂线交BC于点F,连接EF,则EF=FC,
∴∠FEC=∠BCE=15°,
∴∠BFE=30°,
设BE=a,
则EF=FC=2a,
在直角△BEF中,BF=a,
∴BC=a+2a=(2+)a,
∴S△BEC=BE•BC=a2;
在直角△BEC中,EC==2,
∵△CDE为等边三角形,
∴S△ECD==(2+)=3+2,EH=,HC=EC=,
又∵△AED是等腰直角三角形,AH是高,
∴AH=EH=,
∴S△EHC=,
∴====.故④正确;
故其中结论正确的是①②④.
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