如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：（1）△ACE≌△CBD；（2）AF=2FG．

Question

如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：
（1）△ACE≌△CBD；
（2）AF=2FG．

Answer 1

证明：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠ACE=∠CBD=60°．
在△ACE与△CBD中，

AC＝CB

∠ACE＝∠CBD

CE＝BD

，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）由（1）知，△ACE≌△CBD，
∴∠AEC=∠CDB，
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD为公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．