如图，在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°<∠ACD<180°），连结BD和AE：（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；（3）连接A

Question

如图，在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°<∠ACD<180°），连结BD和AE：

（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；
（3）连接AD和BE，在旋转过程中，△ACD的面积记为S₁，△BCE的面积记为S₂，试判断S₁和S₂的大小，并给予证明．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=∠DCE=90°，
∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中

BC=AC

∠BCD=∠ACE

DC=EC

∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2） 如图1，∵△BCD≌△ACE
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC
∵∠AHO=∠BHC
∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°
∴∠AOH=90°
∴BD⊥AE
（3） 如图2，作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，
∵∠MCD+∠DCN=90°，∠ECN+∠DCN=90°，
∴∠MCD=∠NCE，
在△DCM和△ECN中

∠MCD=∠ECN

∠DMC=∠ENC=90°

DC=EC

∴△DCM≌△ECN（AAS），
∴DM=EN，
∵S₁=(1)/(2)AC•DM，S₂=(1)/(2)BC•EN，
∵AC=BC，
∴S₁=S₂．