探究如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．拓展如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90&deg

Question

【探究】如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．
【拓展】如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为___．

Answer 1

【探究】∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB

∠DAC=∠BAE

AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

【拓展】如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形AB，AE=AB，∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AE=AB

∠CAE=∠BAD

AC=AD

，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，
∵BE=√(2)AB=5√(2)，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∴CE=√(BE2+BC2)=5√(3)，
∴BD=5√(3)，
故答案为：5√(3)．