如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．

Question

如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．

（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，

BC=CA

∠ACD=∠ACE

CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE；

（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；

（3）∠CFE=∠CAB，
过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB．