如图，分别以Rt△ABC的两条直角边为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，求DE的长．

Question

如图，分别以Rt△ABC的两条直角边为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，求DE的长．

Answer 1

连接BE，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=√(AB2-BC2)=√(22-12)=√(3)，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE=∠ACE=60°，AC=AE=√(3)，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∠BCE=90°+60°=150°，
∴BE=√(AB2+AE2)=√(22+(√(3))2)=√(7)，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，∠BCD=60°，
∴∠DCE=360°-150°-60°=150°=∠BCE，
在△BCE和△DCE中，

BC=DC

∠BCE=∠DCE

CE=CE

，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴DE=BE=

作业帮用户 2017-05-11

问题解析

连接BE，首先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AB和AC的长，再判定△ABE是直角三角形，由勾股定理得到BE的长，由SAS证得△BCE≌△DCE，即可得出结果．

名师点评

本题考点：

勾股定理 等边三角形的性质

考点点评：

本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

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