已知函数f（x）=ln（x+a）-x，（1）试确定f（x）的单调性；（2）数列{an}满足an+1an-2an+1+1=0，且a1＝12，Sn表示{an}的前n项之和①求数列{an}的通项；②求证：Sn＜n+1-ln（n+2）．

Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x，
（1）试确定f（x）的单调性；
（2）数列{a_n}满足a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，且a1＝(1)/(2)，S_n表示{a_n}的前n项之和
①求数列{a_n}的通项；   
②求证：S_n＜n+1-ln（n+2）．

Answer 1

（1）∵f′(x)＝(1)/(x+a)−1，
由(1)/(x+a)−1＞0，得-a＜x≤1-a，
由

x+a＞0

(1)/(x+a)−1＜0

，得x＞1-a，
故f（x）在（-a，1-a]上是单调增函数，在[1-a，+∞）上是单调减函数．
（2）①∵a_na_n+1-2a_n+1+1=0，
∴an+1＝(1)/(2−an)，1−an+1＝1−(1)/(2−an)＝(1−an)/(2−an)，
∴(1)/(1−an+1)＝(2−an)/(1−an)＝(1)/(1−an) +1(a1≠1)，
∴{(1)/(1−an)}是公差为1的等差数列，且首项为(1)/(1−a1)=2，
故(1)/(1−an)=n+1，
∴an＝1−(1)/(n+1)．
②由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）是单调减函数，又f（0）=0，
∴x＞0，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
∴对于k∈N₊，(1)/(k+1)＞ln(1+(1)/(k+1))=ln（k+2）-ln（k+1），
∵ak＝1−(1)/(k+1)＜1−(ln(k+2)−ln(k+1))，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜1-（ln3-ln2）+1-（ln4-ln3）+…+（ln（n+2）-ln（n+1））
=n+ln2-ln（n+2）
＜n+1-ln（n+2）．